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πよりも好きな定数

日記

円周率(えんしゅうりつ)とは数学定数の一つであり、\pi で表される。平面幾何学における円の周の長さと直径の比として特徴づけることができる。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E5%91%A8%E7%8E%87

Wikipediaによる\piの説明。
わかりやすいし、別に何の異論もない。説明には。
しかし、僕は……\piの定義に異論がある!


……と言っても、半ば感覚的なものなので真に受けないように。

Rとrはどっちが基本的か?ということ


まず、上記の\piの定義だと円を特徴づけるパラメータとして直径(以下 R)を使っているようだ。
だが、数学や物理の問題を解いているとよく出てくるのは半径(以下 r)の方だ。
例えば曲率は \frac{1}{r} で定義されるし、重力の公式は F = G \frac{m_1 m_2}{r^2} となっている。


まぁこれは単に定義の問題だといってしまえばそうかもしれない。
しかし、例えばこんな場合はどうだろう。
極座標系で円を表すと r = const. となり、const は半径を表す(あまりにそのままだが…)。
そして、角度方向は 2 \pi で一周する。


こんな式を見たり計算したりしていると、どうしても直径 R が基本的な定数に見えなくなる。
そして直径を 2r で表したくなってしまう。
だから、やっぱり\piが直径を使って定義されていることに違和感を覚えるのだ。
そしてもし r を使って定義すると、rに掛けると円周になるような定数と考えて、円周率は2\piということになる。
これを仮に\Pi (= 2\pi)とすると、\sin \theta の周期が \Pi になって気持ち良い!余計に2倍とかしなくて済む!
…まぁこの辺は感覚でしかないが。

蛇足 完全数との関係


\Pi = 6.28...


お気づきだろうか?


6 = 1+2+3
28 = 1+2+4+7+14


そう、完全数だ!
もちろん、端数を切っているので数学的な意味は全くない!

ということで、今日は記念日です


今日=6.28
もうお分かりかもしれないが、今日は \Pi の日なのでこんなことを書いてみた。
一般の人に伝わりにくいなら… 2\piの日と言ってもいい。まぁみんなの定義だから仕方ない。
あ、もちろん僕が勝手に言ってるだけなのでカレンダーを見ても書いていませんよ。念のため。


もう今日という日も終わりに近づいているが、僕はたった一人でも祝うことにする。一方的にね。
………乾杯!